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生成函数(幂级数形式)学习笔记并利用其求Fibonacci数列的通项公式[原创]  

2011-01-23 17:17:32|  分类: 我爱数学 |  标签: |举报 |字号 订阅

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幂级数形式的生成函数应用很广,值得学习研究一下J

  1. 什么是生成函数

一说到函数就可能想到定义域和值域,或是更加严格意义让的定义在集合映设让的函数,但是生成函数不能算是这样的函数,它没有那么学术,只能算是数学中一种十分迷人的技巧而已。那么来看看什么是生成函数,如果一个以自然数下标开始的无穷级数 那我我们就把下式定义为此级数的生成函数

 

上面幂级数可能不收敛,但是我们可以让生成函数只定义在收敛的范围内,一般性况下生成函数都写成所谓合式形式,也就是一般用解析式形式表达,比如对于无穷级数,它的生成函数如下:

从有理数理论可知,对于任意一个长度不为0的区间上的实数的个数是要比所有自然数还要多的,所谓自然数不可列举实所有实数,那么我们可以设想对于,如果我们代数自然数个实数,组成一个无穷维的线性方程组,那我们一定可以通过求解个无穷维线性方程组,从而求出原级数的所有项,这就说明由生成函数可以唯一确定一个无穷级数,这里能唯一确定要基于一个定理,即函数的幂级数展开各次项系数唯一。

  1. 生成函数上的运算

定义了生成函数,那么我们就可以对生成函数进行运算,比如代入运算,平方运算等等。比如对于上面的,代入,有,因此,与之类似我们可以得到如下的等式:

注意到

 

我们可以求得如下关系:

上面的平方系数幂级数如果直接求解将是不容易的,这也说明生成函数的方便和功能强大之处。

  1. 利用生成函数求Fibonacci 数列的通项公式,Fibonacci 数列十分重要,它在今天的市场分析等领域有着十分重要的应用,关于其来源和介绍我就不多说了,如果感兴趣可以看下面这链接,写的十分详细十分完整。

     

    http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

     

    Fibonacci数列有如下的性质:

    Fibonacci数列有很多方法求解其通项,比如等比构造,利用变换矩阵的相拟对角化等,这里只是用生成函数来小试牛刀J

我们定义Fibonacci数列的成生函数为,那么

 

    我们把求行的生成函数分解成幂级数,定义此数即为黄金分割率,那么有

    再由幂级数展开的唯一性得到:

    此

    就是Fibonacci数列的通项公式,有趣的是一个以整数为项的数列的通项中要用无理数表示,而且有趣的是这个数列与黄金分割率有着千丝万缕的连续,如果,嗯,神奇的数列。希望写了这么多会某些人有点用,转载请标出处,谢谢~

Ref:

http://en.wikipedia.org/wiki/Fibonacci_number

http://en.wikipedia.org/wiki/Generating_function

http://www.maths.surrey.ac.uk/hosted-sites/R.Knott/Fibonacci/fibnat.html

 

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